Abstract:
Una foliación holomorfa $\mathcal{F}$ de grado $d$ en el plano proyectivo complejo queda determinada, salvo factor escalar, por una 1-forma $\Omega=AdX+BdY+CdZ$ cuyos coeficientes son polinomios homogéneos de grado $d+1$ que satisfacen la condición de Euler $XA+YB+ZC=0$. Las singularidades (los puntos de $\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$ donde $\Omega$ se anula) cumplen relaciones entre invariantes locales y globales. Por ejemplo, la suma de los números de Milnor es $\sum_{p\in\text{Sing}\mathcal{F}}\mu_p(\mathcal{F})=d^2+d+1$. Mientras que las foliaciones de grado $0$ y $1$ son ampliamente conocidas, las de grado~$2$ siguen siendo objeto de estudio. Se han clasificado aquellas que presentan una única singularidad [2]. Además, en cualquier grado, existe el problema de conocer la existencia de curvas algebraicas invariantes para foliaciones. En [3] se ha probado que las foliaciones de grado $d\geq 1$ con una única singularidad de tipo silla-nodo o nilpotente no pueden tener curvas invariantes. En esta charla se presenta la clasificación de foliaciones de grado 2 cuyas singularidades sean todas de tipo silla-nodo o nilpotente, es decir, con multiplicidad algebraica 1 y número de Milnor al menos 2. Para ello, se utiliza la caracterización de la configuración polar de una foliación dada en [1]. También se estudia la existencia de rectas invariantes. [1] Campillo, A., Olivares, J. (2001). Polarity with respect ot a foliation and Cayley-Bacharach Theorems. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2001, 95-118. [2] Cerveau, D., Déserti, J., Garba Belko, D., Meziani, R. (2010). Géométrie classique de certains feuilletages de degré deux. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series. 41, 161-198. [3] Fernández, P., Puchuri, L., Rosas, R. (2022). Foliations on $\mathbb{P}^2$ with only one singular point. Geometriae Dedicata. 216, 59.