Abstract:
Estudiamos la característica de Euler de un campo Gaussiano estacionario. Sea $X:\Omega\times \mathbb{R}^d\to \mathbb{R}$ un campo Gaussiano isotrópico con trayectorias en $C^2(\mathbb{R}^d)$ . Fijemos un nivel y consideremos una excursión por encima de $u\in \mathbb{R}$ , $\{t\in\mathbb{R}^d: X(t)\geq u\}$. Tomaremos la restricción a un subconjunto compacto considerando para cualquier rectángulo acotado $T\subset \mathbb{R}^d$, $A(T,u)=\{t\in T: X(t)\geq u\}$ . El objetivo del trabajo que expondremos es el de establecer un CLT para la característica de Euler de cuando $T$ tiende a $\infty$, como fue conjeturado por R. Adler hace más de diez años. La hipótesis requerida a $X$ es más fuerte que la condición de Geman en dimensión uno, pero es más débil que pedir que las trayectorias estén en $C^3$ . Nuestro resultado extiende a dimensiones mayores que uno lo que es conocido en dimensión uno, en este último caso la característica de Euler de $X$ es igual al número de cruces hacia arriba del nivel $u$ de $X$. Nuestras herramientas principales son la fórmula de Rice y una expansión en el caos de Itô-Wiener. Esta charla se basa en trabajo conjunto con Anne Estrade.