Abstract:
Sea $\mathcal{C}$ un $[n,k]$ código lineal sobre $\mathbb{F}_q$. Dada una matriz generadora $G \in \mathbb{F}_q^{k \times n}$ del código $\mathcal{C}$, le podemos asociar un conjunto de puntos proyectivos $\Pi_G \subseteq \mathbb{P}({\mathbb{F}}_q)$, correspondientes a las columnas de $G$. En [2] se plantea la cuestión de si, para un código autodual dado de longitud $2k$ sobre $\mathbb{F}_q$, el conjunto asociado $\Pi_G$ es aritméticamente Gorenstein. Utilizando una caracterización de [3], proporcionamos una respuesta combinatoria en términos del número de componentes conexas de un grafo derivado de la matriz generadora del código. Comentaremos también la relación con los resultados en [4] y [5]. Joint work with Diego Ruano y Flavio Salizzoni. [1] R.P., Ruano, Salizzoni (2025). A combinatorial description of when a self-associated set of points fails to be arithmetically Gorenstein, https://arxiv.org/abs/2512.16766 [2] S.O.Tohaneanu. Commutative algebra methods for coding theory. Vol. 97. De Gruyter Studies in Mathematics. De Gruyter, Berlin, 2024. [3] D. Eisenbud and S. Popescu, The projective geometry of the Gale transform, J. Algebra 230 (2000), no. 1, 127--173. [4] H. Randriambololona, On products and powers of linear codes under componentwise multiplication, in Algorithmic arithmetic, geometry, and coding theory, 3--78, Contemp. Math., vol.637, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015. [5] M. Kreuzer, Code equivalence, point set equivalence, and polynomial isomorphism, arXiv:2511.06843, 2026.