Abstract:
En 2025, Jaramillo-Velez introdujo en [1] una nueva familia de códigos lineales: los códigos de aristas asociados a hipergrafos. Dado un cuerpo $\mathbb K$ y un hipergrafo $\mathcal{H}=(V,E)$ con $V=\{t_1,\dots,t_n\}$ y $E=\{e_1,\dots,e_m\}$, denotamos por $\mathbb K\, E(\mathcal H)$ el $\mathbb K$-espacio vectorial generado por los monomios $\prod_{t_i\in e_j} t_i$ para todo $j\in\{1,\dots,m\}$. El código de aristas $\mathcal{C}_{\mathcal{H}}$ asociado a $\mathcal{H}$ no es más que el código de evaluación tórico asociado a $\mathbb K\, E(\mathcal{H})$. Es decir, cada palabra de $\mathcal{C}_{\mathcal{H}}$ es de la forma $(f(P_1),\dots,f(P_r))$, donde $f\in \mathbb K\, E(\mathcal{H})$ y $T:=(\mathbb K^*)^n=\{P_1,\dots,P_r\}$ es el toro afín. En [1], Jaramillo-Velez determinó la distancia mínima de los códigos de aristas asociados a dos grandes familias de hipergrafos. Sin embargo, al restringirnos al caso de grafos, vemos que los únicos grafos considerados en este artículo son o bien árboles o bien grafos que contienen cuadrados. En esta charla presentaremos no solo la distancia mínima sino también la distribución de pesos de los códigos de aristas asociados a ciclos de cualquier longitud, y analizaremos la diferencia entre los casos de longitud par e impar. Para terminar, presentaremos la nueva familia de grafos que estamos estudiando. Esta charla se basa en un trabajo conjunto con Giulia Gaggero, Naveena Ragunathan, Abhilash Saha y Adam Van Tuyl (McMaster University, Canadá). [1] Delio Jaramillo-Velez. The edge code of hypergraphs, Journal of Algebra and its Applications, 24, 2025.