Abstract:
Sea $X$ una curva definida sobre un cuerpo separablemente cerrado $k$, y $\mathcal F$ un sistema local $\ell$-ádico sobre $X$, donde $\ell$ es un primo diferente de la característica de $k$. Si vemos este sistema local como una representación del grupo fundamental $\pi_1(X)$ de $X$, la clausura de Zariski de la imagen de esta representación es el grupo de monodromía $G$ de $\mathcal F$. En el caso en el que $X$ y $\mathcal F$ provienen, mediante extensión de escalares, de una curva y un sistema local definidos sobre un cuerpo finito, este grupo determina la distribución de las trazas de Frobenius de $\mathcal F$ en los puntos de $X$ definidos sobre extensiones de $k$, a medida que el grado de la extensión aumenta. En general, uno espera que el grupo de monodromía sea "lo más grande posible" que permitan las restricciones impuestas sobre $\mathcal F$, por lo que normalmente es un grupo algebraico grande ($SL_n$, $Sp_n$, $O_n$) y son excepcionales los casos en los que la monodromía es un grupo finito. Si $k$ tiene característica positiva $p$, la conjetura de Abhyankar determina explícitamente qué grupos finitos pueden aparecer como grupos de monodromía de un tal sistema local sobre $X$ en función de $p$. En esta charla daremos algunos ejemplos de sistemas locales definidos sobre la recta afín ${\mathbb A}^1$ (o sobre el grupo multiplicativo ${\mathbb G}_m$ en característica pequeña $\leq 5$) cuyos grupos de monodromía son grupos finitos esporádicos: los grupos de Conway $Co_1$, $Co_2$, $Co_3$, el grupo de Suzuki $6.Suz$ o el grupo de McLaughlin $McL$. Este es un trabajo conjunto con Nicholas M. Katz (Princeton) y Pham H. Tiep (Rutgers).