Abstract:
Introduciremos la serie eta de autovalores de $D$, y su correspondiente invariante $eta$, asociados a cualquier operador diferencial el'iptico $D$ de orden $d$. Nos interesaremos en el operador tangencial de signatura, $mathcal{D}$, introducido por Atiyah, Patodi y Singer actuando en variedades compactas planas. Daremos una f'ormula general de $eta(s)$ y $eta$ para $mathcal{D}$, en el caso de variedades compactas planas arbitrarias. Luego calcularemos expl'icitmamente estos invariantes en algunos ejemplos. Mostraremos que el c'alculo general se puede reducir al caso particular de grupo de holonom'ia c'iclico. Profundizaremos el estudio en dos familias importantes de variedades con grupo de holonom'ia c'iclico $Fsimeq mathbb{Z}_p$, $p$ primo impar y $Fsimeq mathbb{Z}_{2^r}$, $rge 1$. Un rol primordial en la obtenci'on de los resultados lo juegan el c'alculo de ciertas identidades trigonom'etricas que involucran los 'angulos $frac{2kell jpi}{p}$, $p$ primo, o $frac{2kell jpi}{2^r}$, $rge 1$, con $k,ell,j in mathbb{Z}$. %incluyendo ciertas sumas de Gauss. Mostraremos que estos invariantes espectrales estan 'intimamente ligados a invariantes de la teor'ia de n'umeros, tanto algebraicos como analíticos. M'as precisamente, involucra n'umeros de clase y funciones-L asociadas a cuerpos cuadr'aticos imaginarios. La charla se basa en los art'iculos cite{MP1}, cite{MP2}, cite{Po}. La exposici'on ser'a autocontenida y con un m'inimo de detalles t'ecnicos, ideal para la asistencia de alumnos. end{abstract} egin{thebibliography}{richar} ibitem[ extbf{MP1}]{MP1} extsc{Miatello, R.J.; Podest'a, R.A.} extit{Spectral theory of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact flat manifolds}. J. Geom. Anal. 22 (2012), no. 4, 1027-1054. ibitem[ extbf{MP2}]{MP2} extsc{Miatello, R.J.; Podest'a, R.A.} extit{The $eta$ invariant of the Atiyah-Patodi-Singer operator on compact flat manifolds}. Ann. Global Anal. Geom. 42 (2012), no. 2, 171-194. 58J28 ibitem[ extbf{Po}]{Po} extsc{Podest'a, Ricardo A.} extit{The eta function and $eta$-invariant of $mathbf{Z}_{2^r}$-manifolds}. Enviado en septiembre de 2013, 25 p'aginas. end{thebibliography}