Abstract:
Nash, en las década de los 60, motivado por estudiar los divisores esenciales (divisores excepcionales que "aparecen" en toda resolución) asociados al lugar singular de una variedad algebraica o variedad compleja, introduce los espacios de m-jets, el espacio de arcos y las componentes de Nash. También define una aplicación desde las componentes de Nash hacia los divisores esenciales (aplicación de Nash) y demuestra que esta aplicación es inyectiva. Entonces, el problema planteado por Nash fue estudiar la imagen de esta aplicación. En el caso de las superficies (sobre un cuerpo de característica cero) la aplicación de Nash es biyectiva ( Fernandez de Bobadilla y Pe-Pereira 2012), lo cual resuelve el problema en este caso. En el caso de variedades de dimensión mayor o igual a tres se conocen ejemplos donde esta aplicación no es sobreyectiva (Ishii y Kollar, 2004, de Fernex, 2012 y Kollar 2012). Pero más allá del problema de Nash, es importante estudiar los espacios de m-jets y el espacio de arcos pues estos espacios codifican mucha información sobre algunas propiedades locales de las singularidades (ver por ejemplo los trabajos de Mustata al respecto). Con el fin de extraer más información de los espacios de m-jets y el espacio de arcos, se puede plantear la siguiente pregunta: ¿Cuando una deformación de una variedad induce una deformación de los espacios de m-jets y del espacio de Arcos tal que sea compatible fibra a fibra? En esta charla hablaremos al respecto mostrando algunos ejemplos y dando algunos resultados parciales.